24.      Представить алгоритм нахождения корней квадратного уравнения во всех формах: словесное описание, графическая форма, табличная, программа на языке программирования Лого.

y = x²

ay² + by + c = 0.

Решим квадратное уравнение относительно переменной "y". Получим три возможных варианта решений:

дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.

В первом случае, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay² + by + c = 0, не имеет решения.

Последние два случая соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт, что первое уравнение системы ax² = y имеет смысл только при значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay² +by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того, если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay² +by +c = 0 отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения.

И только в том случае, когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.

Словесное описание алгоритма решения задачи:

1. Ввести a, b, c.

2. Присвоить d = b² - 4ac

3. Если d<0 перейти к 15

4. Присвоить y1 = (-b - SQRT(d)) / (2*a)

5. Присвоить y2 = (-b + SQRT(d)) / (2*a)

6. Если y1<0 и y2< 0 перейти к 15

7. Если y1<0 и y2>=0 перейти к 9

8. Если y1>=0 и y2<0 перейти к 13

9. Присвоить x1 = SQRT(y2)

10. Присвоить x2 = -x1

11. Выдать "x1=";x1, "x2=";x2

12. Перейти к 16

13. Присвоить y2 = y1

14. Перейти к 9

15. Выдать "Действительных решений нет"

16. Закончить

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим координаты вершины параболы А (х₀; у₀): х₀ =-b/2a;

• y₀=ах_о²+вх₀+с;

• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х₀);

• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

  
  

  Алгоритм на Лого

  Это квур

  Пусть "а 1

  Пусть "b 2

  Пусть "с -4

  Пусть "d  :b * :b - 4 * :a * :c

  Еслииначе :d > 0 [Пусть "х1  (- :b + sqtr(:d)) / (2 * :a) Пусть "х2  (- :b - sqtr(:d)) / (2 * :a)  Пиши [x1=] :x1 Пиши [x2=] :x2] 

  [Еслииначе :d=0 [Пусть "х (- :b) / (2 * :a) Пиши [x1,2=] :x]  [Пиши [уравнение не имеет корней]] ]

  конец

  
  

  Табличная форма

  n	a	b	c	d	X1	X2	действие	результат
  1	1	2	-4	0	0	0	Ввод a,b,c	-
  2	1	2	-4	20	0	0	Вычисление дискриминанта	D:=20
  3	1	2	-4	20	0	0	Проверка дискриминанта	d>0
  4	1	2	-4	20	1,24	-3,24	Вычисление корней	X1:=1.24, x2:=-3.24
  5	1	2	-4	20	1,24	-3,24	Вывод результата	-